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Dibujo de funciones lineales - ¿Qué son las funciones lineales?

¿Qué son las funciones lineales?

Explicación de las funciones lineales - ¿Qué son las funciones lineales? 

En esta página, Mathefritz explica qué son las funciones lineales:

Para ello, empezamos con las asignaciones. Luego nos adentramos en el concepto de función y después pasamos a la función lineal. 

Mathefritz intenta explicar la función lineal de la forma más sencilla y precisa posible. También puede encontrar más información teórica sobre el tema de la "función lineal" en Wikipedia.

Matemáticas Fritz Funciones lineales
Mathefritz explica:
¿Qué son las funciones lineales?

Asignaciones - Entrada

Empezamos con los mapeos antes de entender qué son las funciones lineales.

Cómo funcionan las funciones lineales: para entenderlo, primero tenemos que ver los mapeos.  

Ejemplos de tareas en la vida cotidiana

Ejemplo 1:
Peter compra nueces en la frutería. Un kilo cuesta 4 euros. ¿Cuánto cuestan 200 g, 500 g y 1,2 kg?

Ejemplo 2:
En un aparcamiento de varias plantas, el estacionamiento cuesta 1 euro por media hora o parte de ella. A partir de 2 horas, la media hora cuesta sólo 0,75 euros. Aparcar más de 4 horas en un día cuesta una tarifa plana de 7,50 euros (es decir, por todo el día).
Calcule la tarifa de aparcamiento para 10 minutos, para 50 minutos, para 2 horas 20 minutos, para 6 horas 15 minutos.

Ejemplo 3:
Para desayunar, la familia Meyers come huevos de 4 minutos todos los domingos.
¿Cuánto tiempo se tarda en cocer 2, 3 o 5 huevos?

Aviso:
En estos ejemplos, los valores se asignan siempre entre sí:

  • La cantidad de nueces se asigna al precio de las mismas.
  • Se asigna una tarifa de estacionamiento a la duración del mismo.
  • A los huevos se les asigna un tiempo de cocción.

Para presentar estas tareas con mayor claridad y responder a las preguntas de los ejemplos, existen varias posibilidades. Una de ellas es la tabla de valores.

Tablas de valores: en el camino hacia las funciones lineales

Nuestro ejemplo 1:

kg de nueces

1 kg = 1000g

100 g

200 g

500 g = 0,5 kg

1,2 kg =1200 g

Precio en euros

4 €

0,40 €

0,80 €

2,00 €

4,80 €

Para calcular fácilmente los precios de 200 g, 500 g y 1,2 kg, es útil anotar primero el precio de una cantidad pequeña, aquí por ejemplo de 100 g. Esto ya es un ejemplo de tabla de valores para funciones lineales. 

Ejemplo 2:

Tiempo de aparcamiento

0,5 h = 30 min.

10 minutos

50 minutos

2h 20min

6h 15min

Tasa de aparcamiento

1 €

1 €

1€+1€ = 2 €

4 x 1€ + 0,75€ = 4,75 €

7,50 €

Para calcular las tarifas de aparcamiento, hay que tener en cuenta que no cambian uniformemente, sino que "saltan".

Ejemplo 3:

Número de huevos

1 Huevo

2 huevos

3 huevos

5 huevos

10 huevos

Tiempo de cocción en min.

4 minutos

4 minutos

4 minutos

4 minutos

4 minutos

Todos los huevos están listos al mismo tiempo, porque todos los huevos tienen el mismo tiempo de cocción.

 

Diagramas

Las asignaciones también pueden representarse gráficamente en un gráfico. Para ello, los valores se dibujan en un sistema de coordenadas. A continuación, también puede leer otros valores.

El ejemplo de la nuez: nuestro ejemplo 1 en forma de diagrama

¿Cuánto cuestan 800 g de nueces? Esta asignación gráfica ya es una función lineal en forma de gráfico.

Gráfico de la función lineal 1

800 g de nueces cuestan 3,20 euros.

El ejemplo del aparcamiento - Ejemplo 2 en forma de diagrama

¿Cuál es el precio en el aparcamiento para las 1:15 h?

Gráfico de la función lineal 2

El aparcamiento de la 1:15 cuesta 3 euros.

Cocinar huevos - Nuestro ejemplo 3

Tabla de cocción de los huevos

Además, ¡8 huevos tienen exactamente 4 minutos de cocción!

 

Estas asignaciones también se denominan funciones. Con las funciones, se asigna exactamente un valor de dinero (por ejemplo, y €) a un determinado valor de x (por ejemplo, x kg).

En un gráfico , las funciones se representan mediante las líneas correspondientes. Esto se llama la gráfica de la función.

Funciones lineales Pendiente

función lineal - la pendiente

En el ejemplo de las nueces se puede ver: Si el doble de nueces
 \( 2 \cdot x \) kg
 se compran, entonces cuestan el doble
\( 2 \cdot y \)  € .
Dicha función se denomina función proporcional. Está representado en el diagrama por un
Recto que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Esta línea recta puede ser representada por el Ecuación:  
\( y = m \cdot x \) kg
describir. Esto significa que el Factor de gradiente o simplemente Pendiente.
Se calcula transformando la ecuación:
 \( m = \frac{y}{x}\) .
El factor de inclinación es la medida de la Pendiente de la línea recta en el gráfico.
Ejemplo de cálculo:En el ejemplo 1 (ver arriba, tuercas) se toma de la tabla de valores, por ejemplo   x = 1000 g e y = 4 €.Esto da la pendiente a:
\(m = \frac{y}{x}=\frac{4}{1000}=\frac{1}{250} =0,004  \) .
Así que la ecuación se mantiene:
\( y = 0,004 \cdot x \) .
A continuación, se calcula la solución en euros.Tomemos el siguiente ejemplo de cálculo: ¿Cuánto cuestan 600 g de nueces?Entonces tenemos que hacer las cuentas:
\( y = 0,004 \cdot 600 = 2,4 \)
Así que la respuesta es: 600 g de nueces cuestan 2,40 euros.Resumen - Recuerda:Para determinar la ecuación de la recta de una función proporcional, se puede calcular el factor de gradiente con los valores asignados de la tabla de valores.

El triángulo del gradiente - Un ejemplo

En las montañas, es frecuente encontrar señales de tráfico que indican la pendiente de la carretera. Por ejemplo, el 10 % significa que una carretera se eleva 10 m por 100 m de distancia horizontal.

En el diagrama de una función proporcional, se puede determinar el factor de pendiente o la pendiente con un triángulo de pendiente.

La vida cotidiana
Ejemplo de pendiente en la vida cotidiana
La pendiente de una carretera es del 10%.Entonces
\(m = \frac{10}{100}=0,1 \)  
y la ecuación de la recta es
\(y = 0,1 \cdot x \) .
La pendiente de una carretera es del 15 %.Por lo tanto, se desciende 15 m si se recorren 100 metros en horizontal. Por lo tanto, el valor y es negativo: - 15.Así es
\(m = \frac{-15}{100}= -0,15 \) 
y la ecuación es: 
\(y = -0,15 \cdot x \).
Si se conoce la ecuación de la recta, se puede dibujar el diagrama de la misma con la ayuda de un Triángulo degradadodibujar.
Pendiente función lineal Pendiente triángulo
Gradiente y triángulo de gradiente
de una función lineal

Otros ejemplos - gradiente y gráfica de la función lineal

Así que puedes dibujar funciones lineales si conoces la pendiente.

Ejemplo 1:

\( y= -\frac{1}{2}\cdot x\)

La pendiente en esta ecuación funcional

\( m = -\frac{1}{2}\)

significa: ir 2 a la derecha y 1 abajo. ¡Hacia abajo por el signo menos -1!

La recta pasa por los puntos (0;0) y (2;-1).

Ejemplo 2:

\( y= 3 \cdot x\)

Ir 1 a la derecha y 3 hasta el punto (1;3).

Ejemplos de funciones lineales
Funciones lineales Ejemplos de pendiente

La definición de una función lineal

Ejemplo de introducción

Con su bicicleta eléctrica, Nikki puede recorrer 40 km con una sola carga de batería. Si se conduce sin problemas, habrá utilizado una cuarta parte de la carga de la batería después de 10 km, por lo que todavía tiene 30 km de "reserva".

Para dibujar el diagrama correspondiente, primero creamos una tabla de valores:

x: Consumo de batería01/41/23/41
y: distancia posible40 km.30 km.20 km.10 km.0 km

Todos los puntos se encuentran en una línea recta.

El gradiente se obtiene con el triángulo de gradiente:

\(m=-\frac{10}{0,25}=-40
\)
Definición gráfica
x: Consumo de batería | y = Distancia en km

La recta no pasa por el origen del sistema de coordenadas, sino que se desplaza 40 hacia arriba. El resultado es la ecuación de una línea recta:

\( y = -40 \cdot x + 40 \)

Definición función lineal

La definición matemática:

La función

\(
f(x): x \mapsto m \cdot x + n
\)

se denomina función lineal con

\(
m, n \in \mathbb{R} .
\)

Toda función lineal tiene como gráfica una recta con la pendiente m y el intercepto n del eje y.

A la función lineal f(x) le corresponde la ecuación de la función

\(
f(x) = m\cdot x + n
\)

o también:

\(
y = m\cdot x + n
\)
 

O la versión corta:

Una función con una ecuación en línea recta de la forma

f(x) = m∙x+n

se llama función lineal.

¿Lo has entendido? ¡Pon a prueba tus conocimientos!

 
¡Rellena los huecos con las respuestas correctas!
¡La imagen de abajo pertenece a las preguntas!  

Ejemplo de prueba de función lineal

Dibujar funciones lineales en línea

Dibujar funciones lineales

¡Juega con la pendiente m
y el intercepto n del eje y de una función lineal!

¿Cómo se dibujan las funciones lineales?

Si conoces la pendiente de la recta (función lineal) y la intersección (el valor al pasar por el eje y), puedes dibujar la gráfica de la función lineal.

Llamamos a la pendiente m y al intercepto del eje y n.

Pruebe a cambiar los parámetros de la pendiente m y el intercepto n del eje y en la ventana interactiva que aparece a continuación. Fíjate bien en cómo cambia el curso de la línea recta.

  • m es la pendiente de la función lineal (línea recta).
  • n es la intersección del eje y de la línea, que es la distancia en el eje y en el punto de intersección desde el origen
  • f: y = m x + n es la ecuación de la función, ¡la ecuación de la función lineal!

Tutorial - Dibujar funciones lineales:

  • Utilice el control deslizante para la pendiente y el control deslizante para la intercepción del eje Y. 
  • Cambia los valores y sigue cómo cambia la ecuación de la función f en la línea de abajo.
  • Puede utilizar el ratón (o el dedo en una tableta o un smartphone) para mover y ampliar el área visualizada.