Calcular pirámide - volumen de una pirámide, fórmulas, 3D interactivo
Calcular pirámide - Las denominaciones de una pirámide
La pirámide
Calculamos la pirámide: Longitudes en la pirámide, Volumen y área lateral
Calcular pirámide
Antes de empezar con los cálculos sobre una pirámide, definamos qué es una pirámide.
En términos muy generales, una pirámide es una figura geométrica formada por una base y unos lados triangulares que se unen en un punto, la cúspide de la pirámide. Una pirámide típica que conocemos de Egipto, por ejemplo, tiene una base cuadrada, llamada base, y lados triangulares que van desde las esquinas de la base hasta la cúspide.
Más adelante veremos también pirámides de base triangular y de polígonos regulares como un pentágono o un octógono.
También puedes encontrar más información sobre el cálculo de pirámides en Wikipedia.
Pirámide Modelo 3D - interactivo
Pirámide Modelo 3D
Explora la pirámide en nuestro modelo 3D. Utiliza el ratón o tus dedos para ver la pirámide desde todas las perspectivas.
El modelo 3D de la pirámide se creó con Plotly.com
Visite también la página Plotly de Mathefritz.
Cálculo del volumen de una pirámide - La derivación
Volumen de una pirámide - La aproximación con cuboides apilados.
Descomponemos la pirámide en una serie de cuboides apilados como en la animación 3D de al lado. Cuanto menor sea la altura de los cuboides, más nos acercaremos al volumen real de la pirámide.
¡Pruébalo eligiendo tú mismo el número de niveles!
Derivación Calcular el volumen de una pirámide
Empezamos con nuestro ejemplo y 5 planos. Luego queremos derivar el volumen para cualquier número de n planos.
En primer lugar, los ratios de la pirámide de base cuadrada:
- Llamamos longitud de la arista: a
- Llamamos a la altura: h
Con 5 planos un cuboide tiene la altura \(h_q=\frac{h}{5}\)
El medio lado de longitud a se divide en 5 tramos de igual anchura.
El primer cuboide (el más bajo) tiene el volumen:
\(V_1 = a^2 \cdot \frac{h}{5} \)
El segundo cuboide tiene el volumen:
\(V_2 = (\frac{4}{5} a)^2 \cdot \frac{h}{5} \)
El tercer cuboide tiene el volumen:
\(V_3 = (\frac{3}{5} a)^2 \cdot \frac{h}{5} \)
El cuarto cuboide tiene el volumen:
\(V_4 = (\frac{2}{5} a)^2 \cdot \frac{h}{5} \)
El quinto cuboide tiene el volumen:
\(V_5 = (\frac{1}{5} a)^2 \cdot \frac{h}{5} \)
Si sumamos los elementos y los factorizamos, obtenemos una primera aproximación al volumen:
\( V = a^2 \cdot \frac{1}{5} h \cdot (\frac{1}{25} + \frac{4}{25} + \frac{9}{25} + \frac{16}{25} + \frac{25}{25})=a^2 \cdot h \cdot \frac{11}{25} =0,44\cdot h\cdot a^2\)
El volumen para 5 niveles es mayor que el volumen real porque todos los cuboides sobresalen ligeramente por encima de la pirámide real. Ver imagen.
Resumamos el cálculo con una fórmula sumatoria: Fijamos n=5.
\( V = a^2 \cdot h \cdot \frac{1}{n^3}\cdot \sum_{i=1}^{n} i^2 \)
Aumentemos el número de niveles como en nuestra animación 3D para la pirámide:
n = 50 : \(V=\frac {1717}{5000}\cdot a^2 \cdot h = 0,34 \cdot a^2 \cdot h \)
n = 1000 : \(V= 0,3338\cdot a^2 \cdot h \cdot)
Wir sehen, dass sich das Volumen immer mehr dem Wert:
\(V=\frac {1}{3}\cdot a^2 \cdot h \) annähert.
En los niveles 1000 ya hemos alcanzado más o menos el valor correcto.
Cálculo del volumen de una pirámide con la fórmula de los 1000 niveles utilizando una calculadora de bolsillo: Aquí una CASIO fx-991DE CW.
Pyramid in 3D - ¿Dónde encontrar una pirámide en edificios?
Calcular la pirámide en la práctica:
Si busca pirámides en la naturaleza, encontrará muchas pirámides en edificios.
Las estructuras piramidales se encuentran en diferentes culturas y épocas de todo el mundo. He aquí algunos ejemplos bien conocidos:
Las pirámides egipcias: Las pirámides de Guiza, en Egipto, son probablemente los ejemplos más famosos de estructuras piramidales. La pirámide más grande y famosa es la Pirámide de Khufu, lugar de enterramiento del faraón Khufu.
Las pirámides centroamericanas: En las regiones maya y azteca se encuentran numerosas estructuras en forma de pirámide. Algunos ejemplos son las pirámides de Chichén Itzá en México o las pirámides de Tikal en Guatemala.
Las pirámides de Teotihuacán: México alberga el yacimiento arqueológico de Teotihuacán, que contiene los restos de una antigua ciudad. Allí encontrarás la Pirámide del Sol y la Pirámide de la Luna, que se encuentran entre las estructuras piramidales más impresionantes de la época precolombina.
Estos son sólo algunos ejemplos de edificios piramidales. Sin embargo, también hay edificios modernos que se inspiran en la forma piramidal tradicional, como la pirámide de cristal del patio del Louvre de París o el Hotel Luxor de Las Vegas.