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Tâches de calcul des probabilités 🎲

Sur cette page, vous trouverez des exercices sur les probabilités, c'est-à-dire des exercices de mathématiques pour les élèves de 9e année. Ces exercices font généralement partie du thème des probabilités en 9e ou 10e année. Nous couvrons les thèmes suivants : "probabilité conditionnelle", "probabilité à plusieurs niveaux", "diagrammes en arbre", "événement et ensemble d'événements" et "exercices avec roues de fortune".

Comment fonctionne la probabilité conditionnelle et multiniveau ? 🎲 🎱

On parle de probabilité à plusieurs étages lorsque plusieurs expériences aléatoires sont réalisées successivement. Ils peuvent être les mêmes. Mais ils peuvent aussi être différents. Afin de mieux comprendre les expériences aléatoires à plusieurs étapes, il est utile de représenter la situation dans un diagramme en arbre.

Exemple : On lance un dé trois fois de suite. Il s'agit d'une expérience aléatoire très simple à plusieurs étapes.

On parle de probabilité conditionnelle lorsqu'une condition est donnée dans une expérience aléatoire. Par exemple, voir la tâche 3. Si la condition dans la tâche est que l'élève est de l'école secondaire. Résolvez la tâche 3 pour mieux la comprendre.

 

Tâches pour le calcul des probabilités fiche 1

Cette feuille de travail pourrait être un devoir de classe d'une durée de 45 minutes. Bien entendu, ce temps ne s'applique qu'au travail sur une feuille de papier et non aux tâches en ligne de cette page.

Tâche 1 :

Une urne contient 4 boules blanches, 2 noires et 4 grises.

Deux boules sont tirées l'une après l'autre avec remise en jeu (chaque boule est remise en jeu directement).

  • Dessinez l'arbre des résultats et donnez l'ensemble des résultats.
  • Calculez la probabilité de tirer une boule blanche deux fois de suite
    .
  • Calculez la probabilité de ne pas tirer une boule noire.

Maintenant, une boule est tirée sous la condition B : la boule tirée n'est pas blanche.

  • Pour chaque résultat maintenant possible ω, déterminez la probabilité P(ω) et PB(ω).
 
 

 

L'image modèle pour la tâche 1 :

4 boules blanches, 2 boules noires, 4 boules grises 

Tâche Balles Calcul des probabilités

Tâche 2 :

Tâche avec la roue de la fortune

Les roues de la fortune illustrées sont tournées l'une après l'autre.

Pour une mise de 1 €, vous obtenez les gains suivants :

  • 3 € avec deux secteurs blancs
  • 5 € avec 3 secteurs blancs.
  1. Modélisez l'événement aléatoire à l'aide d'un arbre de résultats.
  2. Calculez la probabilité de gagner.
  3. Faites un compte de profits et pertes pour 1000 essais.
  4. L'organisateur peut-il faire des bénéfices avec les jeux d'argent ou les joueurs gagnent-ils davantage avec un nombre élevé de participants ?

Tâche 3 :

L'école compte 1000 élèves. 450 dans l'école primaire, 300 dans l'école secondaire et 250 dans l'école supérieure. Lors d'un quiz, 24% des élèves de l'école inférieure, 15% des élèves de l'école moyenne
et 10% des élèves de l'école supérieure y participent.

  1. Quelle est la probabilité que n'importe quel élève du collège participant remporte le premier prix ?

  2. Quelle est la probabilité qu'un élève particulier d'un collège participant remporte un prix nouvellement introduit pour les collèges ?

Tâche 4 :

Un chasseur atteint un cerf avec une probabilité de 60 % et un lièvre avec une probabilité de 50 % lorsqu'il tire un coup de feu. La nuit, il touche les deux et ne peut tirer qu'un seul coup chacun.

  • Quelle est la probabilité que le chasseur reparte avec au moins un animal tué ?

Solutions interactives à la fiche de travail 1

Solutions à la tâche 1

Conseils pour résoudre cette tâche

  • Le tirage d'une urne avec layback signifie que la probabilité de tirer une boule blanche, noire ou grise reste la même à chaque coup.
  • Si chaque couleur est possible à chaque coup, l'ensemble des résultats possibles est constitué de toutes les combinaisons possibles de couleurs. 
  • Rappelez-vous que la somme des probabilités à chaque niveau doit être égale à 1.
  • Rappelez-vous que les probabilités le long d'une branche sont multipliées. Les probabilités que les différentes branches appartiennent à un même événement sont additionnées !

Solution interactive - Effectuez les tâches en ligne ici et vérifiez si vous avez compris et calculé correctement la tâche.

Le diagramme 🌳 :

Complétez le diagramme en faisant glisser et en déposant les probabilités manquantes jusqu'à ce que le diagramme soit complet.

 

Le site 🎲 Probabilités

À partir du diagramme d'arbre correct de la sous-tâche précédente, vous pouvez lire la probabilité en examinant toutes les branches de l'arbre qui remplissent la condition.

Quelle est la probabilité à l'extrémité de chaque branche de l'arbre ? Tirer les probabilités au bon endroit ici aussi

Vous pouvez calculer les probabilités à partir de l'arborescence pour tous les résultats (branches possibles) et les saisir ici : 

L'ensemble des résultats Ω

L'ensemble des résultats Ω est constitué de tous les résultats possibles après avoir tiré deux fois.

Ce sont toutes des combinaisons de couleurs qui peuvent se produire. Ici, la question de savoir si nous distinguons l'ordre ou non est toujours ouverte. Ici, toutes les combinaisons sont données en faisant attention à l'ordre, qui correspond aux chiffres 1 - 9 dans l'image à côté.

Ω = {(blanc, blanc), (noir, noir), (gris, gris),
(blanc, noir), (blanc, gris), (noir, gris), 

(noir, blanc), (gris, blanc), (gris, noir)}

 

Les probabilités recherchées sont :

 

Probabilités conditionnelles

La tâche : "On tire maintenant une boule sous la condition B: la boule tirée n'est pas blanche".

 

Solutions à la tâche 2

Notes de solution

Nous pouvons représenter cette expérience par un diagramme en arbre à trois niveaux. Sur chaque niveau, il y a deux branches à chaque nouveau point d'arrivée : blanche ou grise. 

Notez la probabilité à chaque branche et à la fin la probabilité pour l'ensemble du chemin.

Puis comptez les branches ou les chemins qui mènent à un bénéfice.

 

Dessinez un diagramme en arbre avec les probabilités. Si vous avez essayé vous-même, vous devez d'abord dérouler les différentes étapes de la solution !

Les solutions :

Les cercles blancs représentent le segment qui gagne, le cercle gris représente un perdant.

Diagramme d'arbre 1

Vous pouvez maintenant écrire la probabilité de cet événement dans chaque cercle.

Dans chaque cercle, vous trouverez maintenant la probabilité.

Diagramme d'arbre 2

Le chemin qui mène à un bénéfice de 5 € est marqué en rouge. Les chemins qui mènent à un bénéfice de 3 € sont marqués en vert. 

Diagramme d'arbre 3

Notez que si vous pariez 1 €, chaque gain doit être réduit de ce montant pour voir le gain réel.

Maintenant, vous devez calculer les probabilités pour les 3 possibilités :

  • Rouge : 4 € de bénéfice réel
  • Vert : 2 € de bénéfice réel
  • Blanc : perte de 1 €.

Diagramme d'arbre 4

La probabilité de gagner est la somme des probabilités de gagner 5 € et 3 €. Cela représente environ 29,2 %.

 

Le compte de profits et pertes :

Évaluez maintenant par vous-même si le jeu est intéressant pour l'organisateur du jeu ou pour les participants.

Considérez également dans votre évaluation que l'organisateur a encore des coûts supplémentaires à payer pour le personnel et l'équipement.

 

Solutions à la tâche 3

Conseils pour résoudre cette tâche

Tout d'abord, nous devons analyser combien d'élèves du niveau de la classe participent. Cela nous donne également le nombre total d'étudiants ayant participé au quiz.

Nous utilisons ensuite ces informations pour calculer la proportion de participants issus du niveau intermédiaire.

Pour la partie b) de la tâche, il suffit de regarder les chiffres du niveau intermédiaire.

 

Solution aux parties a) et b) 

 

 

Solutions à la tâche 4

Notes de solution

Modélisez cette tâche à l'aide d'un diagramme en arbre. Nous supposons que l'on tire d'abord sur un animal, puis sur l'autre. Il s'agit donc d'une expérience aléatoire en plusieurs étapes. Il importe peu que le lièvre soit abattu en premier ou le cerf en premier. Dans la solution interactive, choisissez le tir sur le cerf comme premier tir.

Regardez maintenant le diagramme en arbre et trouvez les chemins qui correspondent à la tâche. 

On peut aussi écrire les cas (probabilités) sans diagramme en arbre.

 

 

Conseil :

Demandez-vous si le contre-événement de l'événement que vous recherchez est plus facile à calculer. Si c'est le cas, calculez d'abord la probabilité du contre-événement. Le résultat que vous recherchez est alors "P = 1 - contre-événement. 

Examen préliminaire :

Contre-événement :

Quel est le contre-événement de "touché au moins une fois" ? 

Le projet de loi :

Diagramme d'arbre :

Dessinez maintenant le diagramme en arbre avec les valeurs des probabilités !  

Passez votre souris sur l'image ou cliquez dessus pour voir la solution.

Cliquez sur l'image !

🎲 Feuilles de calcul des probabilités

Tâches de calcul des probabilités - Fiche 1

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