Dessiner des fonctions linéaires - que sont les fonctions linéaires ?
Que sont les fonctions linéaires ?
Explication des fonctions linéaires - Que sont les fonctions linéaires ?
Sur cette page, Mathefritz t'explique ce que sont les fonctions linéaires :
Pour cela, nous commençons par les affectations. Ensuite, nous entrons dans la notion de fonction, puis nous passons à la fonction linéaire.
Mathefritz essaie de t'expliquer la fonction linéaire de manière aussi simple et précise que possible. Tu trouveras également des informations plus théoriques sur le thème de la "fonction linéaire" sur Wikipedia!
Que sont les fonctions linéaires ?
Affectations - Accès
Nous commençons par des affectations avant de comprendre ce que sont les fonctions linéaires
Comment fonctionnent les fonctions linéaires - pour le comprendre, nous devons d'abord nous pencher sur les affectations.
Exemples d'affectations dans la vie quotidienne
Exemple 1 :
Pierre achète des noix chez le marchand de fruits. Un kilogramme coûte 4 €. Combien coûtent 200 g, 500 g, 1,2 kg ?
Exemple 2 :
Dans un parking, le stationnement coûte 1 € par demi-heure entamée. À partir de 2 heures, la demi-heure ne coûte plus que 0,75 €. Un stationnement de plus de 4 heures dans la même journée coûte 7,50 € (donc pour toute la journée).
Calcule le prix du stationnement pour 10 min, pour 50 min, pour 2h 20 min, pour 6 h 15 min.
Exemple 3 :
Pour le petit-déjeuner, la famille Meyers sert chaque dimanche des œufs de 4 minutes.
Combien de temps faut-il pour que 2, 3 ou 5 œufs soient cuits ?
Remarque :
Dans ces exemples, les valeurs sont toujours attribuées les unes aux autres :
- La quantité de noix est associée au prix de celles-ci.
- Une taxe de stationnement est associée à la durée de stationnement.
- Une durée de cuisson est attribuée aux œufs.
Pour présenter de telles affectations de manière plus claire et pour répondre aux questions posées dans les exemples, il existe différentes possibilités. L'une d'entre elles est le tableau de valeurs.
Tableaux de valeurs - en route vers les fonctions linéaires
Notre exemple 1 :
kg de noix | 1 kg = 1000g | 100 g | 200 g | 500 g = 0,5 kg | 1,2 kg =1200 g |
Prix en € | 4 € | 0,40 € | 0,80 € | 2,00 € | 4,80 € |
Pour calculer facilement les prix recherchés pour 200 g, 500 g et 1,2 kg, il est utile de noter tout d'abord le prix pour une petite quantité, ici par exemple pour 100 g. Ceci est déjà un exemple de tableau de valeurs de fonctions linéaires.
L'exemple 2
Durée de stationnement | 0,5 h = 30 min | 10 min | 50 min | 2h 20min | 6h 15min |
Frais de parking | 1 € | 1 € | 1€+1€ = 2 € | 4 x 1€ + 0,75€ = 4,75 € | 7,50 € |
Pour calculer les frais de stationnement, il faut tenir compte du fait qu'ils ne varient pas de manière régulière, mais qu'ils "sautent".
Exemple 3 :
Nombre d'œufs | 1 œuf | 2 œufs | 3 œufs | 5 œufs | 10 œufs |
Temps de cuisson en min | 4 min | 4 min | 4 min | 4 min | 4 min |
Tous les œufs sont prêts en même temps, car tous les œufs ont le même temps pour être cuits.
Graphiques
Les affectations peuvent également être représentées graphiquement dans un graphique. Pour cela, les valeurs sont dessinées dans un système de coordonnées. On peut alors lire d'autres valeurs.
L'exemple de la noix - notre exemple 1 sous forme de graphique
Combien coûtent 800 g de noix ? Cette correspondance graphique est déjà une fonction linéaire sous forme de graphique !
800 g de noix coûtent 3,20 € !
L'exemple du parking - Exemple 2 sous forme de schéma
Quel est le prix d'une place de parking pour 1h15 de stationnement ?
Se garer à 1h15 coûte 3 € !
Cuisson des œufs - Notre exemple 3
Même 8 œufs ont exactement 4 minutes de cuisson !
De telles affectations sont également appelées fonctions. Dans le cas des fonctions, à une certaine valeur x (p. ex. x kg) est associée exactement une valeur y (p. ex. y €).
Dans un graphique , les fonctions sont représentées par des lignes correspondantes. Celles-ci sont appelées graphique de la fonction.
fonctions linéaires Pente
fonction linéaire - la pente
Dans l'exemple des noix, on voit que : Si deux fois plus de noixLe triangle de la pente - un exemple
En montagne, on trouve souvent des panneaux de signalisation indiquant la pente ou la déclivité de la route. Par exemple, 10 % signifie qu'une route monte de 10 m pour 100 m de trajet horizontal.
Dans le graphique d'une fonction proportionnelle, on peut déterminer le facteur de pente ou la pente à l'aide d'un triangle de pente.
d'une fonction linéaire
Autres exemples - Pente et graphique de la fonction linéaire
Ainsi, tu peux dessiner des fonctions linéaires si tu connais la pente.
Exemple 1 :
La pente dans cette équation fonctionnelle
signifie : va 2 vers la droite et 1 vers le bas. Vers le bas à cause du signe moins -1 !
La droite passe par les points (0;0) et (2;-1).
Exemple 2 :
Va 1 vers la droite et 3 vers le haut jusqu'au point (1;3).
La définition d'une fonction linéaire
Exemple d'introduction
Avec son vélo électrique, Nikki peut parcourir 40 km avec une seule charge de batterie. Si elle roule à un rythme régulier, elle aura utilisé un quart de la charge de la batterie après 10 km, ce qui lui laisse encore 30 km de "réserve".
Pour dessiner le graphique correspondant, nous commençons par créer un tableau de valeurs :
| x : Consommation de la batterie | 0 | 1/4 | 1/2 | 3/4 | 1 |
| y : distance possible | 40 km | 30 km | 20 km | 10 km | 0 km |
Les points sont tous situés sur une ligne droite.
La pente est obtenue à l'aide du triangle de pente :
\)
La droite ne passe pas par l'origine du système de coordonnées, mais est décalée vers le haut de 40. L'équation de la droite est donc la suivante
\( y = -40 \cdot x + 40 \)
Définition de la fonction linéaire
La définition mathématique :
La fonction
f(x): x \mapsto m \cdot x + n
\)
est une fonction linéaire avec
m, n \in \mathbb{R} .
\)
Toute fonction linéaire a pour graphe une droite de pente m et de segment d'axe y n.
La fonction linéaire f(x) a l'équation suivante
f(x) = m\cdot x + n
\)
ou encore
y = m\cdot x + n
\)
Ou la version courte :
Une fonction avec une équation de droite de la forme :
f(x) = m∙x+n
est appelée fonction linéaire.
Tu as compris - Teste tes connaissances !
Dessiner des fonctions linéaires en ligne
et le segment d'axe y n
d'une fonction linéaire !
Comment dessiner des fonctions linéaires ?
Si tu connais la pente de la droite (fonction linéaire) et le segment d'axe y (la valeur lors du passage par l'axe y), tu peux dessiner le graphique de la fonction linéaire.
Comment nommer la pente m et le segment d'axe y n.
Essaie de modifier les paramètres de la pente m et du segment d'axe y n dans la fenêtre interactive ci-dessous. Observe bien comment le tracé de la droite change.
- m est la pente de la fonction linéaire (droite).
- n est le segment d'axe y de la droite, c'est la distance sur l'axe y au point d'intersection avec le point zéro (origine)
- f : y = m x + n est l'équation de la fonction, l'équation de la fonction linéaire !
Instructions - dessiner des fonctions linéaires :
- Utilise le curseur pour la pente et le curseur pour la section de l'axe des y.
- Changez les valeurs et suivez les changements de l'équation de la fonction f sur la ligne en dessous.
- Tu peux utiliser la souris (ou ton doigt sur une tablette ou un smartphone) pour déplacer et zoomer sur la zone affichée.