Calculer une pyramide - volume d'une pyramide, formules, 3D interactif
Calculer une pyramide - Les désignations d'une pyramide
La pyramide
Longueurs dans la pyramide,
Volume et surface de l'enveloppe
Calculer une pyramide
Avant de commencer à faire des calculs sur une pyramide, nous voulons d'abord définir ce qu'est une pyramide.
D'une manière générale, une pyramide est une figure géométrique composée d'une base et de côtés triangulaires qui se rejoignent en un point, le sommet de la pyramide. Une pyramide typique, que nous connaissons par exemple en Égypte, a une base carrée, appelée base, et des faces latérales triangulaires qui partent des sommets de la base vers le sommet.
Plus tard, nous examinerons également les pyramides à base triangulaire et les polygones réguliers tels que le pentagone ou l'octogone.
Tu trouveras également plus d'informations sur le calcul de la pyramide sur Wikipedia !
Modèle de pyramide 3D - interactif
Modèle de pyramide 3D
Explore la pyramide dans notre modèle 3D. Avec la souris ou les doigts, tu peux observer la pyramide sous tous les angles.
Le modèle 3D de la pyramide a été créé avec Plotly.com
Visite également la page Plotly de Mathefritz.
Calculer le volume d'une pyramide - La dérivation
Volume d'une pyramide - L'approximation avec des parallélépipèdes empilés.
Nous décomposons la pyramide en un certain nombre de parallélépipèdes empilés, comme dans l'animation 3D ci-contre. Plus la hauteur des parallélépipèdes est petite, plus nous nous rapprochons du volume réel de la pyramide.
Tente l'expérience en choisissant toi-même le nombre de niveaux !
Déduction Calculer le volume d'une pyramide
Nous commençons avec notre exemple et 5 niveaux. Ensuite, nous voulons déduire le volume pour un nombre quelconque de n niveaux.
Tout d'abord, les chiffres clés de la pyramide à base carrée :
- Nous appelons la longueur de l'arête : a
- Nous appelons la hauteur : h
Avec 5 niveaux, un parallélépipède a une hauteur \(h_q=\frac{h}{5}\)
La demi-longueur de côté a est divisée en 5 longueurs de même largeur.
Le premier parallélépipède (le plus bas) a le volume :
\(V_1 = a^2 \cdot \frac{h}{5} \)
Le deuxième parallélépipède a le volume :
\(V_2 = (\frac{4}{5} a)^2 \cdot \frac{h}{5} \)
Le troisième parallélépipède a le volume :
\(V_3 = (\frac{3}{5} a)^2 \cdot \frac{h}{5} \)
Le quatrième parallélépipède a le volume :
\(V_4 = (\frac{2}{5} a)^2 \cdot \frac{h}{5} \)
Le cinquième parallélépipède a le volume :
\(V_5 = (\frac{1}{5} a)^2 \cdot \frac{h}{5} \)
Si nous regroupons les éléments sous forme de somme et que nous les excluons, nous obtenons une première approximation du volume :
\( V = a^2 \cdot \frac{1}{5} h \cdot (\frac{1}{25} + \frac{4}{25} + \frac{9}{25} + \frac{16}{25} + \frac{25}{25})=a^2 \cdot h \cdot \frac{11}{25} =0,44\cdot h\cdot a^2\)
Le volume pour 5 niveaux est plus grand que le volume réel, car tous les parallélépipèdes dépassent légèrement de la vraie pyramide. Voir l'image.
Résumons le calcul par une formule de sommation :
Nous fixons n=5.
\( V = a^2 \cdot h \cdot \frac{1}{n^3}\cdot \sum_{i=1}^{n} i^2 \)
Augmentons le nombre de niveaux comme dans notre animation 3D pour la pyramide :
n = 50 : \(V=\frac {1717}{5000}\cdot a^2 \cdot h = 0,34 \cdot a^2 \cdot h \)
n = 1000 : \(V= 0,3338\cdot a^2 \cdot h \)
Wir sehen, dass sich das Volumen immer mehr dem Wert:
\(V=\frac {1}{3}\cdot a^2 \cdot h \) annähert.
Avec 1000 niveaux, nous avons pour ainsi dire déjà atteint la valeur correcte.
Le calcul du volume d'une pyramide avec la formule pour 1000 niveaux avec une calculatrice de poche : ici une CASIO fx-991DE CW.
Pyramide en 3D - Où trouver une pyramide dans les constructions ?
Calculer une pyramide dans la pratique :
Si tu cherches des pyramides dans la nature, tu en trouveras beaucoup dans les constructions.
On trouve des constructions en forme de pyramide dans différentes cultures et à différentes époques dans le monde entier. En voici quelques exemples connus :
Les pyramides égyptiennes : Les pyramides de Gizeh en Égypte sont probablement les exemples les plus connus de constructions pyramidales. La pyramide la plus grande et la plus connue est la pyramide de Khéops, un lieu de sépulture du pharaon Khéops.
Les pyramides d'Amérique centrale : Dans les régions mayas, aztèques, on trouve de nombreuses constructions pyramidales. Les pyramides de Chichén Itzá au Mexique ou les pyramides de Tikal au Guatemala en sont des exemples.
Les pyramides de Teotihuacán: au Mexique se trouve le site archéologique de Teotihuacán, qui contient les vestiges d'une ville antique. On y trouve la pyramide du Soleil et la pyramide de la Lune, qui comptent parmi les constructions pyramidales les plus impressionnantes de l'ère précolombienne.
Ce ne sont là que quelques exemples de constructions en forme de pyramide. Mais il existe aussi des constructions modernes qui s'inspirent de la forme pyramidale traditionnelle, comme la pyramide de verre de la cour intérieure du Louvre à Paris ou l'hôtel Luxor à Las Vegas.