Hypothesentest Aufgaben – Schritt für Schritt erklärt
Willkommen auf der Seite für Hypothesentest Aufgaben! Hier findest du alles, was du benötigst, um den Hypothesentest zu meistern. Von leicht verständlichen Erklärungen bis hin zu praxisnahen Übungsaufgaben – unsere Inhalte helfen dir, die Konzepte des Hypothesentests Schritt für Schritt zu verinnerlichen und sicher anzuwenden.Tauche ein in die Welt der Statistik und stärke deine Fähigkeiten mit maßgeschneiderten Aufgaben, die speziell darauf abzielen, die Grundlagen und fortgeschrittenen Techniken des Hypothesentests zu vermitteln. Unsere Übungen sind klar strukturiert und auf verschiedene Schwierigkeitsgrade ausgelegt, sodass du genau das richtige Niveau für deine Bedürfnisse findest.Was ist ein Hypothesentest?
Ein Hypothesentest ist ein statistisches Verfahren, mit dem Behauptungen (Hypothesen) über eine Grundgesamtheit geprüft werden. Dabei werden zwei Hypothesen aufgestellt:
- Nullhypothese (\(H_0\)): Die zu überprüfende Annahme, die gilt, solange sie nicht widerlegt wird.
- Alternativhypothese (\(H_1\)): Die Annahme, die angenommen wird, wenn \(H_0\) abgelehnt wird.
Der Hypothesentest ist eng mit der Binomialverteilung verbunden, wenn es sich um diskrete Daten handelt, die entweder „Erfolg“ oder „Misserfolg“ darstellen (z. B. Treffer bei einem Würfelwurf oder Geschenke in Überraschungseiern). Bei einer Stichprobe mit \(n\) Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) folgt die Anzahl der Erfolge \(X\) einer Binomialverteilung: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] Für große Stichproben kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden.
Grundlagen zur Berechnung eines Hypothesentests
Um einen Hypothesentest durchführen zu können, musst du Folgendes wissen:
- Stichprobengröße (\(n\)): Die Anzahl der beobachteten Daten.
- Signifikanzniveau (\(\alpha\)): Die Wahrscheinlichkeit, \(H_0\) abzulehnen, wenn \(H_0\) tatsächlich wahr ist.
- Teststatistik: Eine Kennzahl, die aus der Stichprobe berechnet wird.
- p-Wert: Die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis zu erhalten, das mindestens so extrem wie die beobachtete Teststatistik ist, wenn \(H_0\) gilt.
Hypothesentest Berechnung – In jedem 7. Ei ist eine Überraschung
Wer kennt die Aussage nicht: „In jedem siebten Ei ist eine Spielfigur dabei!“
An diesem Beispiel können wir mit einer Stichprobe prüfen, ob die Aussage stimmt oder wie wir sie bewerten können.
Ein Unternehmen behauptet, dass durchschnittlich jedes siebte Überraschungsei eine Spielfigur enthält. Wir untersuchen eine Stichprobe von n = 20 Überraschungseiern und finden heraus, dass k = 5 Überraschungseier eine Spielfigur enthalten.
Jetzt führen wir einen Hypothesentest auf dem Signifikanzniveau
durch, um die Aussage des Unternehmens zu überprüfen.
Für die Berechnung und Veranschaulichung nutzen wir GeoGebra, auch wenn dieses Hilfsmittel in der Abiturprüfung nicht zugelassen ist. Die Berechnung selbst wird mit dem Taschenrechner durchgeführt.
1. Formulierung der Hypothesen
Wie formulieren als Ausgangspunkt die Nullhypothese :
Die Wahrscheinlichkeit für eine Figur in einem Ei beträgt 1/7.
Die alternative Hypothese lautet:
Die Wahrscheinlichkeit für eine Figur ist nicht 1/7.
Dies ist ein zweiseitiger Test.
Hypothesentest Aufgaben – weitere Beispiele
Aufgabe 1: Würfeltest
Ein Würfel wird als fair angesehen, wenn jede Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{6}\) hat. Es wird behauptet, dass der Würfel unfair ist. In einem Test werden 60 Würfe durchgeführt, und die Zahl 6 tritt 15 Mal auf.
Hypothesen:
- \(H_0: p = \frac{1}{6}\)
- \(H_1: p \neq \frac{1}{6}\)
Berechnung: \[ \text{Teststatistik: } Z = \frac{\hat{p} – p_0}{\sqrt{\frac{p_0 (1 – p_0)}{n}}} \] \[ \hat{p} = \frac{15}{60}, \, p_0 = \frac{1}{6}, \, n = 60 \] Einsetzen ergibt: \[ Z \approx 2.04 \] Der kritische Wert für \(\alpha = 0.05\) ist \(Z_{krit} = \pm 1.96\). Da \(Z = 2.04 > 1.96\), lehnen wir \(H_0\) ab.
Aufgabe 2: Überraschungseier
Ein Unternehmen behauptet, dass in jedem 10. Ei ein besonderes Geschenk enthalten ist. Eine Stichprobe von 50 Eiern enthält 8 Geschenke. Prüfe, ob die Behauptung des Unternehmens auf einem Signifikanzniveau von 5% stimmt.
Hypothesen:
- \(H_0: p = 0.1\)
- \(H_1: p \neq 0.1\)
Berechnung:
Die geschätzte Erfolgsquote ist: \[ \hat{p} = \frac{8}{50} = 0.16 \] Die Teststatistik lautet: \[ Z = \frac{\hat{p} – p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \] Einsetzen: \[ Z = \frac{0.16 – 0.1}{\sqrt{\frac{0.1 \cdot 0.9}{50}}} \approx 1.77 \] Der kritische Wert bei \(\alpha = 0.05\) ist \(Z_{krit} = \pm 1.96\). Da \(Z = 1.77 < 1.96\), kann \(H_0\) nicht abgelehnt werden.
Aufgabe 3: Medikamententest
In einem Medikamententest zeigt ein neues Mittel bei 70 von 100 Patienten eine Wirkung. Behauptet wird, dass das Mittel bei 75% der Patienten wirkt. Teste die Hypothese.
Hypothesen:
- \(H_0: p = 0.75\)
- \(H_1: p \neq 0.75\)
Berechnung:
Die geschätzte Erfolgsquote ist: \[ \hat{p} = \frac{70}{100} = 0.7 \] Die Teststatistik lautet: \[ Z = \frac{\hat{p} – p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \] Einsetzen: \[ Z = \frac{0.7 – 0.75}{\sqrt{\frac{0.75 \cdot 0.25}{100}}} \approx -1.15 \] Der kritische Wert bei \(\alpha = 0.05\) ist \(Z_{krit} = \pm 1.96\). Da \(-1.15 > -1.96\), kann \(H_0\) nicht abgelehnt werden.