Lineare Funktionen zeichnen - was sind lineare Funktionen
Was sind Lineare Funktionen?
Lineare Funktionen Erklärung – Was sind lineare Funktionen?
Auf dieser Seite erklärt dir Mathefritz was lineare Funktionen sind:
Dazu starten wir mit Zuordnungen. Anschließend steigen wir in den Begriff der Funktion ein und dann gehen wir zur linearen Funktion über.
Mathefritz versucht dir dabei die lineare Funktion möglichst einfach und doch exakt zu erklären. Etwas theoretischer findest du das Thema „lineare Funktion“ auch bei Wikipedia!
Was sind lineare Funktionen?
Zuordnungen - Einstieg
Wir starten mit Zuordnungen bevor wir verstehen was sind lineare Funktionen
Wie funktionieren lineare Funktionen – um das zu verstehen, müssen wir zunächst einmal auf Zuordnungen schauen.
Beispiele von Zuordnungen im Alltag
Beispiel 1:
Peter kauft beim Obsthändler Walnüsse. Ein Kilogramm kostet 4 €. Wie viel kosten 200 g, 500g, 1,2 kg?
Beispiel 2:
In einem Parkhaus kostet das Parken pro angefangener halben Stunde jeweils 1 €. Ab 2 Stunden kostet die halbe Stunde nur noch 0,75 €. Länger als 4 Stunden Parken an einem Tag kostet pauschal (also für den ganzen Tag) 7,50 €.
Berechne jeweils die Parkgebühr für 10 min, für 50 min, für 2h 20 min, für 6 h 15 min.
Beispiel 3:
Zum Frühstück gibt es bei Familie Meyers jeden Sonntag 4 Minuten Frühstückseier.
Wie lange dauert es, bis 2, 3 oder 5 Eier fertig gekocht sind?
Merke:
In diesen Beispielen werden immer Werte einander zugeordnet:
- Der Menge der Walnüsse ist der Preis dafür zugeordnet.
- Der Parkdauer ist eine Parkgebühr zugeordnet.
- Den Eiern ist eine Zeitdauer für das Kochen zugeordnet.
Um solche Zuordnungen übersichtlicher darzustellen und um die Fragen in den Beispielen zu beantworten, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine davon ist die Wertetabelle.
Wertetabellen – auf dem Weg zu linearen Funktionen
Unser Beispiel 1:
kg Walnüsse | 1 kg = 1000g | 100 g | 200 g | 500 g = 0,5 kg | 1,2 kg =1200 g |
Preis in € | 4 € | 0,40 € | 0,80 € | 2,00 € | 4,80 € |
Um die gesuchten Preise für 200 g, 500 g und 1,2 kg einfach zu berechnen ist es hilfreich, zuerst den Preis für eine kleine Menge zu notieren, hier zum Beispiel für 100 g. Dies ist bereits ein Beispiel für eine Wertetabelle lineare Funktionen.
Das Beispiel 2:
Parkdauer | 0,5 h = 30 min | 10 min | 50 min | 2h 20min | 6h 15min |
Parkgebühr | 1 € | 1 € | 1€+1€ = 2 € | 4 x 1€ + 0,75€ = 4,75 € | 7,50 € |
Um die Parkgebühren zu berechnen ist zu beachten, dass sie sich nicht gleichmäßig verändern, sondern „springen“.
Beispiel 3:
Anzahl Eier | 1 Ei | 2 Eier | 3 Eier | 5 Eier | 10 Eier |
Kochzeit in min | 4 min | 4 min | 4 min | 4 min | 4 min |
Alle Eier werden gleichzeitig fertig, denn alle Eier haben die gleiche Zeit um gekocht zu werden.
Schaubilder
Die Zuordnungen kann man auch grafisch in einem Schaubild darstellen. Dazu werden die Werte in einem Koordinatensystem eingezeichnet. Man kann dann auch weitere Werte ablesen.
Das Walnuss Beispiel – unser Beispiel 1 als Schaubild
Was kosten 800 g Walnüsse? Diese grafische Zuordnung ist bereits eine lineare Funktion als Schaubild!
800 g Walnüsse kosten 3,20 €!
Das Parkhaus Beispiel – Beispiel 2 als Schaubild
Wie hoch ist der Preis im Parkhaus für 1:15 h parken?
1:15 parken kostet 3 €!
Eier kochen – Unser Beispiel 3
Auch 8 Eier haben genau 4 Minuten Kochzeit!
Man nennt solche Zuordnungen auch Funktionen. Bei Funktionen ist einem bestimmten x-Wert (z.B. x kg) genau einy-Wert (z.B. y €) zugeordnet.
In einem Schaubild werden Funktionen durch entsprechende Linien dargestellt. Diese nennt man Graph der Funktion.
lineare Funktionen Steigung
lineare Funktion – die Steigung
Im Beispiel mit den Walnüssen erkennt man: Wenn doppelt so viele NüsseDas Steigungsdreieck – Ein Beispiel
Im Gebirge findet man oft Verkehrsschilder mit Angaben zur Steigung oder dem Gefälle der Strasse. Dabei bedeutet z.B. 10 %, dass eine Strasse um 10 m steigt bei 100 m horizontaler Strecke.
Im Schaubild einer proportionalen Funktion kann man den Steigungsfaktor oder die Steigung mit einem Steigungsdreieck bestimmen.
einer lineare Funktion
Weitere Beispiele – Steigung und Schaubild der linearen Funktion
So kannst du lineare Funktionen zeichnen, wenn du die Steigung kennst.
Beispiel 1:
Die Steigung in dieser Funktionsgleichung
bedeutet: gehe 2 nach rechts und 1 nach unten. Nach unten wegen dem Minuszeichen -1!
Die Gerade geht durch die Punkte (0;0) und (2;-1).
Beispiel 2:
Gehe 1 nach rechts und 3 nach oben zum Punkt (1;3).
Die Definition einer linearen Funktion
Beispiel zur Einführung
Mit ihrem Elektrofahrrad kann Nikki 40 km weit mit einer Batterie Ladung fahren. Wenn sie schön gleichmäßig fährt, dann hat sie nach 10 km ein Viertel der Ladung der Batterie verbraucht, also noch für 30 km „Reserve“.
Um das Schaubild dazu zu zeichnen erstellen wir zunächst eine Wertetabelle:
| x: Batterie Verbrauch | 0 | 1/4 | 1/2 | 3/4 | 1 |
| y: mögliche Entfernung | 40 km | 30 km | 20 km | 10 km | 0 km |
Die Punkte liegen alle auf einer Geraden.
Die Steigung ergibt sich mit dem Steigungsdreieck:
\)
Die Gerade geht nicht durch den Ursprung des Koordinatensystems, sondern ist nach oben um 40 verschoben. Damit ergibt sich als Geradengleichung:
Definition lineare Funktion
Die mathematische Definition:
Die Funktion
f(x): x \mapsto m \cdot x + n
\)
heißt lineare Funktion mit
m, n \in \mathbb{R} .
\)
Jede lineare Funktion hat eine Gerade als Graph mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt n.
Zur linearen Funktion f(x) gehört die Funktionsgleichung
f(x) = m\cdot x + n
\)
oder auch:
y = m\cdot x + n
\)
Oder die kurze Version:
Eine Funktion mit einer Geradengleichung der Form:
f(x) = m∙x+n
heißt lineare Funktion.
Hast du es verstanden – Teste dein Wissen!
Lineare Funktionen zeichnen online
und dem y-Achsenabschnitt n
einer linearen Funktion!
Wie zeichnet man lineare Funktionen?
Wenn du die Steigung der Geraden (linearen Funktion) und den y-Achsenabschnitt (der Wert beim Durchgang durch die y-Achse) kennst, kannst du den Graphen der linearen Funktion zeichnen.
Wie nennen die Steigung m und den y-Achsenabschnitt n.
Probiere es aus, die Parameter für die Steigung m und den y-Achsenabschnitt n in dem interaktiven Fenster unten zu ändern. Schauen genau hin, wie sich der Verlauf der Geraden verändert.
- m ist die Steigung der linearen Funktion (Geraden).
- n ist der y-Achsenabschnitt der Geraden, das ist der Abstand auf der y-Achse beim Schnittpunkt vom Nullpunkt (Ursprung)
- f: y = m x + n ist die Funktionsgleichung, die Gleichung der linearen Funktion!
Anleitung – lineare Funktionen zeichnen:
- Benutze den Schieberegler für die Steigung und den Schieberegler für den y-Achsenabschnitt.
- Verändere die Werte und verfolge, wie sich die Gleichung für die Funktion f in der Zeile darunter verändert.
- Du kannst mit der Maus (oder deinem Finger auf einem Tablet-Computer oder Smartphone) den angezeigten Bereich verschieben und Zoomen.