Pyramide berechnen - Volumen einer Pyramide, Formeln, 3D interaktiv
Pyramide berechnen - Die Bezeichnungen einer Pyramide
Die Pyramide
Längen in der Pyramide,
Volumen und Mantelfläche
Pyramide berechnen
Bevor wir mit Berechnungen an einer Pyramide starten, wollen wir erst einmal definieren was eine Pyramide ist.
Ganz allgemein ist eine Pyramide eine geometrische Figur, die aus einer Grundfläche und Dreiecksseiten besteht, die sich in einem Punkt, der Spitze der Pyramide, treffen. Eine typische Pyramide, die wir z.B. aus Ägypten kennen, hat eine quadratische Grundfläche, die als Basis bezeichnet wird, und dreieckige Seitenflächen, die von den Eckpunkten der Grundfläche zur Spitze verlaufen.
Im Späteren Verlauf betrachten wir auch noch Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche und mit regelmäßigen Vielecken wie z.B. einem Fünfeck oder einem Achteck.
Weitere Infos zur Pyramide berechnen findest du auch bei Wikipedia!
Pyramide 3D Modell - interaktiv
Pyramide 3D Modell
Erkunde die Pyramide in unserem 3D Modell. Mit der Maus oder den Fingern kannst du die Pyramide aus allen Perspektiven betrachten.
Das 3D-Modell der Pyramide wurde erstellt mit Plotly.com
Besuche auch die Plotly-Seite von Mathefritz.
Volumen einer Pyramide berechnen - Die Herleitung
Volumen einer Pyramide - Die Näherung mit gestapelten Quadern.
Wir zerlegen die Pyramide in eine Anzahl gestapelter Quader wie in der 3D Animation nebenan. Je kleiner die Höhe der Quader ist um so näher kommen wir dem tatsächlichen Volumen der Pyramide.
Probiere es aus, indem du die Anzahl der Ebenen selbst auswählst!
Herleitung Volumen einer Pyramide berechnen
Wir starten mit unserem Beispiel und 5 Ebenen. Anschließend wollen wir das Volumen für eine beliebige Anzahl von n-Ebenen herleiten.
Zunächst die Kennzahlen der Pyramide mit quadratischer Grundfläche:
- Die Kantenlänge nennen wir: a
- Die Höhe nennen wir: h
Bei 5 Ebenen hat ein Quader die Höhe \(h_q=\frac{h}{5}\)
Die Halbe Seitenlänge a wird in 5 gleich breite Längen eingeteilt.
Der erste (unterste) Quader hat das Volumen:
\(V_1 = a^2 \cdot \frac{h}{5} \)
Der zweite Quader hat das Volumen:
\(V_2 = (\frac{4}{5} a)^2 \cdot \frac{h}{5} \)
Der dritte Quader hat das Volumen:
\(V_3 = (\frac{3}{5} a)^2 \cdot \frac{h}{5} \)
Der vierte Quader hat das Volumen:
\(V_4 = (\frac{2}{5} a)^2 \cdot \frac{h}{5} \)
Der fünfte Quader hat das Volumen:
\(V_5 = (\frac{1}{5} a)^2 \cdot \frac{h}{5} \)
Fassen wir die Elemente als Summe zusammen und klammern wir aus, erhalten wir als erste Näherung für das Volumen:
\( V = a^2 \cdot \frac{1}{5} h \cdot (\frac{1}{25} + \frac{4}{25} + \frac{9}{25} + \frac{16}{25} + \frac{25}{25})=a^2 \cdot h \cdot \frac{11}{25} =0,44\cdot h\cdot a^2\)
Das Volumen für 5 Ebenen ist größer als das tatsächliche Volumen, da alle Quader leicht über die echte Pyramide hinausragen. Siehe Bild.
Fassen wir die Berechnung mit einer Summenformel zusammen:
Wir setzen n=5.
\( V = a^2 \cdot h \cdot \frac{1}{n^3}\cdot \sum_{i=1}^{n} i^2 \)
Erhöhen wir die Anzahl der Ebenen wie in unserer 3D Animation für die Pyramide:
n = 50 : \(V=\frac {1717}{5000}\cdot a^2 \cdot h = 0,34 \cdot a^2 \cdot h \)
n = 1000 : \(V= 0,3338\cdot a^2 \cdot h \)
Wir sehen, dass sich das Volumen immer mehr dem Wert:
\(V=\frac {1}{3}\cdot a^2 \cdot h \) annähert.
Bei 1000 Ebenen haben wir den korrekten Wert quasi schon erreicht.
Die Berechnung des Volumens einer Pyramide mit der Formel für 1000 Ebenen mit einem Taschenrechner: Hier ein CASIO fx-991DE CW.
Pyramide in 3D - Wo findet man eine Pyramide in Bauwerken?
Pyramide berechnen in der Praxis:
Wenn du Pyramiden in der Natur suchst, findest du viele Pyramiden in Bauwerken.
Bauwerke in Pyramidenform finden sich in verschiedenen Kulturen und zu unterschiedlichen Zeiten auf der ganzen Welt. Hier sind einige bekannte Beispiele:
Die ägyptischen Pyramiden: Die Pyramiden von Gizeh in Ägypten sind wohl die bekanntesten Beispiele für pyramidenförmige Bauwerke. Die größte und bekannteste Pyramide ist die Cheops-Pyramide, eine Grabstätte des Pharaos Cheops.
Die mittelamerikanischen Pyramiden: In den Regionen der Maya, Azteken finden sich zahlreiche pyramidenförmige Bauwerke. Beispiele sind die Pyramiden von Chichén Itzá in Mexiko oder die Pyramiden von Tikal in Guatemala.
Die Pyramiden von Teotihuacán: In Mexiko befindet sich die archäologische Stätte Teotihuacán, die die Überreste einer antiken Stadt enthält. Dort stehen die Pyramide der Sonne und die Pyramide des Mondes, die zu den beeindruckendsten pyramidenförmigen Bauwerken der präkolumbianischen Ära gehören.
Dies sind nur einige Beispiele für Bauwerke in Pyramidenform. Es gibt jedoch auch moderne Bauwerke, die sich von der traditionellen Pyramidenform inspirieren lassen, wie z.B. die Glaspyramide im Innenhof des Louvre in Paris oder das Luxor Hotel in Las Vegas.